Page 170 - INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE ALGORITMOS

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE ALGORITMOS

Wir müssen wissen.

Wir werden wissen.

(Tenemos que saber.

Llegaremos a saber).

Al mismo tiempo, el lógico inglés Bertrand Russell, que también estaba contribuyendo al gran pro-
yecto de Hilbert, había tropezado con una incoherencia. Russell evocó su propia reacción ante la
temida posibilidad de que las matemáticas fueran intrínsecamente contradictorias. No había esca-
patoria a ello. El trabajo de Russell causó un perjuicio considerable al sueño de crear un sistema
matemático libre de duda, incoherencia y paradoja. La paradoja de Russell se explica a menudo con
el cuento del bibliotecario minucioso.

Un día, deambulando entre las estanterías, el bibliotecario descubre una colección
de catálogos. Hay diferentes catálogos para novelas, obras de consulta, poesía y
demás. Se da cuenta de que algunos de los catálogos se incluyen a sí mismos y
otros, en cambio, no.

Con el objeto de simplificar el sistema, el bibliotecario elabora dos catálogos más:
en uno de ellos hace constar todos los catálogos que se incluyen a sí mismos y
en el otro, más interesante aún, todos aquellos que no se catalogan a sí mismos.
¿Debe catalogarse a sí mismo? Si se incluye, por definición no debería estar
incluido; en cambio, si no se incluye, debería incluirse por definición. El bibliotecario
se encuentra en una situación imposible.

La incongruencia que atormenta al bibliotecario causará problemas en la estructura lógica de las
matemáticas. Las matemáticas no pueden tolerar inconsistencias, paradojas o contradicciones. El
poderoso instrumento de la prueba por contradicción, por ejemplo, se fundamenta en una mate-
mática libre de paradojas. La prueba por contradicción establece que si una afirmación conduce
al absurdo, entonces tiene que ser falsa; sin embargo, según Russell, incluso los axiomas pueden
llevar al absurdo. Así que la prueba por contradicción podría evidenciar que un axioma es falso y, no
obstante, los axiomas son el fundamento de las matemáticas y se reconocen como ciertos.
El trabajo de Russell sacudió los cimientos de las matemáticas y arrastró el estudio de la lógica ma-
temática a una situación de caos. Una manera de abordar el problema era crear un axioma adicional
que prohibiera a cualquier grupo ser miembro de sí mismo. Eso reduciría la paradoja de Russell y
convertiría en superflua la cuestión de si hay que introducir en el catálogo a aquellos otros que no se
incluyen a sí mismos.

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